В окружность вписан четырёхугольник ABCD
со сторонами: AB=a, BC=b, CD=c, AD=d
Доказать, что 1) его площадь
S=, где p=(a+b+c+d)
2) если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности, то его площадь будет равна
.

Ответы (1)

Фаузат 20.09.2024 5

Пусть ABCD вписанный четырехугольник ,AB=a,BC=b , CD =c ,DA=d.
Проведем диагональ AC.
S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD=
(1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B.
* * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B * * *
Из треугольника ABC по теореме косинусов :
AC² =a² +b² -2abcos∠B . (1)
Аналогично из треугольника ADC :
AC²= c²+d² -2cdcos∠D ;
AC²=c²+d² +2cdcos∠B .   (2)

Из уравнений (1) и (2) получаем  :
a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) .
sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² =
(1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))=
((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) =
(c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| =
(2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² .
sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) .
следовательно :
S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) =
√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)).
--------------------------------
2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то :
b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны).
p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ; * * * замена b+d = a+c * * *
p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ;  * * * замена  a+c=b+d * * *
p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ;  * * * замена b+d = a+c * * *
p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d . * * * замена  a+c=b+d * * *

S =√(abcd) .

Знаете правильный ответ?

Думаешь ответы не верны?

Найди верный ответ на вопрос по предмету Геометрия, если вы не получили ответа или никто не дал верного ответа, то рекомендуется воспользоваться поиском и попытаться найти ответ на свой вопрос среди похожих запросов.

Воспользуйтесь поиском

Новые вопросы по предмету Геометрия:

ПРЕДМЕТЫ