Dан треугольник ABC у которого угол A=120.Докажите что треугольник с вершинами в основаниях его бесскиктрисс прямоугольны.Помогите пожалуйста!

Ответы (1)

Антепа 10.02.2025 3

Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое геометрическое решение". Может, потом что-то в голову придет. Но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно.
Пояснения к рисунку. Стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠A = 120°; l - биссектриса этого угла. Буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины A до концов биссектрис. Стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n;
Нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный.
По ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем.
2*S = bc*sin(A) = bl*sin(A/2) + cl*sin(A/2);
l = 2bc*cos(A/2)/(b + c) = bc/(b + c);
Длины отрезков x и y также легко найти, и они очень похожи на l
x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. Теперь можно приступить к решению.
Из теоремы косинусов легко найти
k^2 = x^2 + y^2 + xy;
m^2 = l^2 + x^2 - xl;
n^2 = l^2 + y^2 - yl;
Кроме того, для всего треугольника тоже есть связь
a^2 = c^2 + b^2 + bc;
Легко видеть, что надо доказать, что
2l^2 = xl + yl + xy;
или
2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c);
или (что тоже самое, все преобразования - обратимы)
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2;
Если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для k, m, n выполняется теорема Пифагора, что и нужно.
Но последнее соотношение легко получить из
a^2 = c^2 + b^2 +cb; =>
a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; =>
(a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); =>
2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует
k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.

Знаете правильный ответ?

Думаешь ответы не верны?

Найди верный ответ на вопрос по предмету Геометрия, если вы не получили ответа или никто не дал верного ответа, то рекомендуется воспользоваться поиском и попытаться найти ответ на свой вопрос среди похожих запросов.

Воспользуйтесь поиском

Новые вопросы по предмету Геометрия:

ПРЕДМЕТЫ