Тело массой 3 кг поднимают вверх по наклонной плоскости на высоту 8 м. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30". коэффициент 0.2. Определить работу силы и коэффициент полезного Действия .

Элона 28.02.2025 1

Задача на КПД, поэтому начнём с КПД:
КПД – отношение полезной работы к затраченной, т.е.
η = Aпол/Aзат.

Aпол – это работа по изменению потенциальной энергии груза, т.е. работа против силы тяжести: Aпол = m*g*h (h - высота подъёма, т.е. в вертикальном направлении)

Aзат – это работа силы F, с которой мы толкаем груз, при этом груз проходит вдоль горки путь l. Работа силы – это сила умножить на перемещение вдоль линии действия силы:
Aзат = F*l

Я сделал поясняющий рисунок к задаче. Далее следует применить второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y. Но я лучше попробую более менее "на пальцах" пояснить.

При равномерном подъёме сила F должна компенсировать силу трения скольжения и ту часть силы тяжести, которая направлена вдоль горки против движения (m*g*sinα):
F = Fтр + m*g*sinα

 Сила трения скольжения по закону Амонтона-Кулона: Fтр = μ*N, где μ – коэф. трения, N – сила реакции опоры, которая компенсирует ту часть силы тяжести, которая перпендикулярна плоскости горки:
N = m*g*cosα.

Тогда:
Fтр = μ*m*g*cosα
F = μ*m*g*cosα + m*g*sinα = m*g*(μ*cosα + sinα)

Затраченная работа:
Aзат = m*g*(μ*cosα + sinα)*l

Стоит отметить, что длина поверхности горки l – гипотенуза с противолежащим для угла α катетом h. Тогда l = h/sinα:
Aзат = m*g*(μ*cosα + sinα)*h/sinα = m*g*h*(μ*cosα/sinα + sinα/sinα)
Aзат = m*g*h*(μ*ctgα + 1)

Таким образом, КПД:
η = (m*g*h)/(m*g*h*(μ*ctgα + 1))
η = 1/(μ*ctgα + 1)

Это решения для работы силы (затраченной работы) Aзат и КПД в общем виде. Найдём численные значения:
Aзат = 3 кг * 10 Н/кг * 8 м * (0,2 * ctg30° + 1) = 240 Дж * (0,2*√3 + 1) ≈ 323,1 Дж.
η = 1/(0,2 * ctg30° + 1) = 1/(0,2*√3 + 1) ≈ 0,743 (или 74,3 %).

Отмечу интересные моменты:
1. Если бы не было силы трения (μ = 0), то согласно решению общего вида затраченная работа была бы равна m*g*h, то есть полезной работе. КПД был бы равен 1 (т.е. 100%).
2. Чем больше коэф. трения μ, тем больше приходится совершить работу силы, и тем меньше КПД. Это следует не только из логики, но и из решения в общем виде.
3. Чем больше угол наклона α (в пределах от 0 до 90°, т. е. чисто горизонтальная и чисто вертикальная поверхность), тем меньше значение котангенса ctgα, тем меньше приходится совершить работу силы, и тем больше КПД. Для вертикальной стенки КПД станет равной 100 % (трение будет отсутствовать, т.к. мы при этом прижимать не будем тело к плоскости). Это также всё следует не только из логики, но и из решения в общем виде.
4. Естественно, чем больше масса груза, чем выше поднимать, и чем сильнее трение, тем больше надо затратить работу. Увеличение же угла наклона (уменьшение котангенса ctgα) уменьшает работу силы, т. к. телу для подъёма на высоту h понадобится пройти меньший путь по поверхности l.
5. От массы груза и, тем более, от высоты, на которую поднимаем груз, КПД не зависит. КПД характеризует эффективность механизма (наклонной плоскости), т. е. насколько существенна сила трения между поверхностями тела и плоскости (коэф. трения μ) и насколько длинный путь по ней придётся телу пройти (угол наклона α).